Matemáticos encontram estrutura oculta em um tipo comum de espaço

No outono Em 2017, Mehtaab Sawhney, então estudante de graduação no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, juntou-se a um grupo de leitura de pós-graduação que se propôs a estudar um único artigo ao longo de um semestre. Mas no final do semestre, lembra Sawhney, eles decidiram seguir em frente, confusos com a complexidade da prova. “Foi realmente incrível”, disse ele. “Parecia completamente estranho.”

O artigo era de Peter Keevash, da Universidade de Oxford. Seu assunto: objetos matemáticos chamados designs.

O estudo de projetos remonta a 1850, quando Thomas Kirkman, um vigário de uma paróquia no norte da Inglaterra que se interessou por matemática, apresentou um problema aparentemente simples em uma revista chamada The Diário de uma Dama e um Cavalheiro. Digamos que 15 meninas caminhem para a escola em filas de três todos os dias durante uma semana. Você pode organizá-los para que, ao longo desses sete dias, duas garotas nunca se encontrem na mesma fila mais de uma vez?

Logo, os matemáticos estavam fazendo uma versão mais geral da pergunta de Kirkman: se você tem n elementos em um conjunto (nossas 15 alunas), você sempre pode classificá-los em grupos de tamanho k (fileiras de três) para que cada conjunto menor de tamanho t (cada par de meninas) aparece exatamente em um desses grupos?

Tais configurações, conhecidas como (n, k, t), desde então, têm sido usados ​​para ajudar a desenvolver códigos de correção de erros, experimentos de design, software de teste e ganhar chaves e loterias esportivas.

Mas eles também se tornam extremamente difíceis de construir como k e t crescer mais. Na verdade, os matemáticos ainda não encontraram um projeto com um valor de t maior que 5. E então foi uma grande surpresa quando, em 2014, Keevash mostrou que mesmo que você não saiba como construir tais projetos, eles sempre existem, desde que n é grande o suficiente e satisfaz algumas condições simples.

Agora Keevash, Sawhney e Ashwin Sah, um estudante de pós-graduação do MIT, mostraram que objetos ainda mais elusivos, chamados de designs de subespaço, sempre existem também. “Eles provaram a existência de objetos cuja existência não é nada óbvia”, disse David Conlon, matemático do Instituto de Tecnologia da Califórnia.

Para fazer isso, eles tiveram que reformular a abordagem original de Keevash – que envolvia uma mistura quase mágica de aleatoriedade e construção cuidadosa – para fazê-la funcionar em um ambiente muito mais restritivo. E assim Sawhney, agora cursando seu doutorado no MIT, se viu cara a cara com o artigo que o havia deixado perplexo alguns anos antes. “Foi muito, muito prazeroso entender totalmente as técnicas e realmente sofrer, trabalhar com elas e desenvolvê-las”, disse ele.

“Além do que está além da nossa imaginação”

Durante décadas, os matemáticos traduziram problemas sobre conjuntos e subconjuntos – como a questão do projeto – em problemas sobre os chamados espaços e subespaços vetoriais.

Um espaço vetorial é um tipo especial de conjunto cujos elementos – vetores – estão relacionados entre si de uma forma muito mais rígida do que uma simples coleção de pontos pode ser. Um ponto diz onde você está. Um vetor informa o quanto você se moveu e em que direção. Eles podem ser adicionados e subtraídos, aumentados ou diminuídos.