Uma nova prova de computador ‘explode’ equações centenárias de fluidos

Durante séculos, os matemáticos têm procurado entender e modelar o movimento dos fluidos. As equações que descrevem como as ondulações formam a superfície de um lago também ajudaram os pesquisadores a prever o clima, projetar aviões melhores e caracterizar como o sangue flui pelo sistema circulatório. Essas equações são enganosamente simples quando escritas na linguagem matemática correta. No entanto, suas soluções são tão complexas que entender questões básicas sobre elas pode ser proibitivamente difícil.

Talvez a mais antiga e proeminente dessas equações, formulada por Leonhard Euler há mais de 250 anos, descreva o fluxo de um fluido incompressível ideal: um fluido sem viscosidade ou atrito interno e que não pode ser forçado a um volume menor. “Quase todas as equações de fluidos não lineares são derivadas das equações de Euler”, disse Tarek Elgindi, matemático da Duke University. “São os primeiros, pode-se dizer.”

No entanto, muito permanece desconhecido sobre as equações de Euler – incluindo se elas são sempre um modelo preciso de fluxo de fluido ideal. Um dos problemas centrais na dinâmica de fluidos é descobrir se as equações falham, gerando valores sem sentido que as tornam incapazes de prever os estados futuros de um fluido.

Os matemáticos há muito suspeitam que existem condições iniciais que causam a quebra das equações. Mas eles não foram capazes de provar isso.

Em uma pré-impressão publicada on-line em outubro, um par de matemáticos mostrou que uma versão específica das equações de Euler às vezes falha. A prova marca um grande avanço – e embora não resolva completamente o problema para a versão mais geral das equações, oferece esperança de que tal solução esteja finalmente ao alcance. “É um resultado incrível”, disse Tristan Buckmaster, um matemático da Universidade de Maryland que não participou do trabalho. “Não há resultados desse tipo na literatura.”

Há apenas um problema.

A prova de 177 páginas — resultado de um programa de pesquisa de uma década — faz uso significativo de computadores. Isso sem dúvida torna difícil para outros matemáticos verificá-lo. (Na verdade, eles ainda estão no processo de fazê-lo, embora muitos especialistas acreditem que o novo trabalho se mostrará correto.) Isso também os força a considerar questões filosóficas sobre o que é uma “prova” e o que ela fará. significa se a única maneira viável de resolver questões tão importantes daqui para frente é com a ajuda de computadores.

Avistando a Besta

Em princípio, se você conhece a localização e a velocidade de cada partícula em um fluido, as equações de Euler devem ser capazes de prever como o fluido evoluirá o tempo todo. Mas os matemáticos querem saber se esse é realmente o caso. Talvez, em algumas situações, as equações prossigam conforme o esperado, produzindo valores precisos para o estado do fluido em um determinado momento, apenas para um desses valores disparar repentinamente para o infinito. Nesse ponto, diz-se que as equações de Euler dão origem a uma “singularidade” – ou, mais dramaticamente, “explodem”.

Assim que atingirem essa singularidade, as equações não serão mais capazes de calcular o fluxo do fluido. Mas “há alguns anos, o que as pessoas eram capazes de fazer ficava muito, muito aquém [proving blowup]”, disse Charlie Fefferman, matemático da Universidade de Princeton.

Fica ainda mais complicado se você estiver tentando modelar um fluido com viscosidade (como quase todos os fluidos do mundo real). Um Prêmio do Milênio de um milhão de dólares do Clay Mathematics Institute aguarda qualquer um que possa provar se falhas semelhantes ocorrem nas equações de Navier-Stokes, uma generalização das equações de Euler que explicam a viscosidade.